Apa itu Teorema Batas Pusat (CLT)?

Central Limit Theorem (CLT) adalah konsep statistik yang menyatakan bahwa distribusi rata-rata sampel dari variabel acak akan mengasumsikan distribusi mendekati normal atau normal jika ukuran sampel cukup besar. Secara sederhana, teorema menyatakan bahwa distribusi sampling dari mean Mean Mean merupakan konsep penting dalam matematika dan statistik. Secara umum, mean mengacu pada nilai rata-rata atau nilai paling umum dalam kumpulan pendekatan distribusi normal seiring bertambahnya ukuran sampel, terlepas dari bentuk distribusi populasi asli.

Diagram Central Limit Theorem (CLT) menunjukkan Konvergensi dengan Distribusi Normal

Saat pengguna meningkatkan jumlah sampel menjadi 30, 40, 50, dll., Grafik rata-rata sampel akan bergerak menuju distribusi normal. Ukuran sampel harus 30 atau lebih tinggi agar teorema batas pusat dapat dipertahankan.

Salah satu komponen teorema yang paling penting adalah bahwa mean sampel akan menjadi mean seluruh populasi. Jika Anda menghitung mean dari beberapa sampel populasi, menjumlahkannya, dan mencari rata-ratanya, hasilnya adalah estimasi mean populasi.

Hal yang sama berlaku saat menggunakan deviasi standar Deviasi Standar Dari sudut pandang statistik, standar deviasi suatu kumpulan data adalah ukuran besarnya deviasi antara nilai-nilai pengamatan yang terkandung. Jika Anda menghitung simpangan baku dari semua sampel dalam populasi, menjumlahkannya, dan mencari rata-rata, hasilnya adalah simpangan baku dari seluruh populasi.

Bagaimana Teorema Batas Pusat Bekerja?

Teorema batas pusat membentuk dasar dari distribusi probabilitas. Ini memudahkan untuk memahami bagaimana perkiraan populasi berperilaku ketika mengalami kesalahan pengambilan sampel berulang Tipe II Dalam pengujian hipotesis statistik, kesalahan tipe II adalah situasi di mana uji hipotesis gagal menolak hipotesis nol yang salah. Di lain. Ketika diplot pada grafik, teorema menunjukkan bentuk distribusi yang dibentuk dengan menggunakan sampel populasi yang diulang.

Semakin besar ukuran sampel, distribusi mean dari sampel yang berulang cenderung menjadi normal dan menyerupai distribusi normal. Hasilnya tetap sama terlepas dari bentuk asli distribusinya. Hal tersebut dapat diilustrasikan pada gambar di bawah ini:

Central Limit Theorem (CLT) - Bagaimana hal itu muncul

Dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa meskipun bentuk asli distribusi seragam, distribusi cenderung ke arah distribusi normal karena nilai n (ukuran sampel) meningkat.

Selain menunjukkan bentuk yang akan diambil mean sampel, teorema limit pusat juga memberikan gambaran tentang mean dan varians dari distribusi tersebut. Rata-rata sampel dari distribusi adalah rata-rata populasi yang sebenarnya dari mana sampel diambil.

Sedangkan varians distribusi sampel adalah varians populasi dibagi n . Oleh karena itu, semakin besar ukuran sampel distribusi, semakin kecil varians dari mean sampel.

Contoh Teorema Batas Pusat

Seorang investor tertarik untuk memperkirakan return indeks pasar saham ABC yang terdiri dari 100.000 saham. Karena besarnya ukuran indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA) Dow Jones Industrial Average (DJIA), juga biasa disebut sebagai "Dow Jones" atau hanya "Dow", adalah salah satu yang paling populer dan banyak- indeks pasar saham yang diakui, investor tidak dapat menganalisis setiap saham secara independen dan sebaliknya memilih untuk menggunakan sampel acak untuk mendapatkan perkiraan pengembalian indeks secara keseluruhan.

Investor mengambil sampel saham secara acak, dengan masing-masing sampel terdiri dari setidaknya 30 saham. Sampel harus acak, dan sampel yang dipilih sebelumnya harus diganti dalam sampel berikutnya untuk menghindari bias.

Jika sampel pertama menghasilkan pengembalian rata-rata 7,5%, sampel berikutnya dapat menghasilkan pengembalian rata-rata 7,8%. Dengan sifat randomized sampling maka setiap sampel akan menghasilkan hasil yang berbeda. Saat Anda meningkatkan ukuran ukuran sampel dengan setiap sampel yang Anda pilih, sarana sampel akan mulai membentuk distribusinya sendiri.

Distribusi mean sampel akan bergerak ke arah normal dengan meningkatnya nilai n. Pengembalian rata-rata saham dalam indeks sampel memperkirakan pengembalian seluruh indeks 100.000 saham, dan pengembalian rata-rata didistribusikan secara normal.

Sejarah Teorema Batas Pusat

Versi awal dari teorema batas pusat diciptakan oleh Abraham De Moivre, seorang ahli matematika kelahiran Prancis. Dalam sebuah artikel yang diterbitkan pada tahun 1733, De Moivre menggunakan distribusi normal untuk menemukan jumlah kepala yang dihasilkan dari beberapa kali lemparan koin. Konsep itu tidak populer pada saat itu, dan segera dilupakan.

Namun, pada tahun 1812, konsep tersebut diperkenalkan kembali oleh Pierre-Simon Laplace, ahli matematika Prancis terkenal lainnya. Laplace memperkenalkan kembali konsep distribusi normal dalam karyanya yang berjudul “Théorie Analytique des Probabilités,” di mana ia mencoba untuk mendekati distribusi binomial dengan distribusi normal.

Ahli matematika tersebut menemukan bahwa rata-rata variabel acak independen, jika bertambah jumlahnya, cenderung mengikuti distribusi normal. Saat itu, temuan Laplace tentang teorema limit pusat menarik perhatian para ahli teori dan akademisi lain.

Kemudian pada tahun 1901, teorema batas pusat dikembangkan oleh Aleksandr Lyapunov, seorang matematikawan Rusia. Lyapunov selangkah lebih maju untuk mendefinisikan konsep secara umum dan membuktikan bagaimana konsep tersebut bekerja secara matematis. Fungsi karakteristik yang dia gunakan untuk memberikan teorema diadopsi dalam teori probabilitas modern.

Bacaan Terkait

Finance adalah penyedia resmi Financial Modeling & Valuation Analyst (FMVA) ™ FMVA® Certification. Bergabunglah dengan 350.600+ siswa yang bekerja untuk perusahaan seperti Amazon, JP Morgan, dan program sertifikasi Ferrari, yang dirancang untuk membantu siapa saja menjadi analis keuangan kelas dunia . Untuk terus belajar dan memajukan karier Anda, sumber daya Keuangan tambahan di bawah ini akan berguna:

  • Teorema Bayes Teorema Bayes Dalam teori statistika dan probabilitas, Teorema Bayes (juga dikenal sebagai aturan Bayes) adalah rumus matematika yang digunakan untuk menentukan
  • Tendensi Sentral Tendensi Sentral Tendensi sentral adalah ringkasan deskriptif dari suatu dataset melalui satu nilai yang mencerminkan pusat distribusi data. Seiring dengan variabilitasnya
  • Hukum Bilangan Besar Hukum Bilangan Besar Dalam statistika dan teori probabilitas, hukum bilangan besar merupakan teorema yang menggambarkan hasil pengulangan percobaan yang sama dalam jumlah besar.
  • Aturan Total Probabilitas Aturan Total Probabilitas Aturan Total Probabilitas (juga dikenal sebagai hukum probabilitas total) adalah aturan fundamental dalam statistik yang berkaitan dengan kondisional dan marginal.

Direkomendasikan

Apakah Margin Kontribusi?
Apa itu Eksternalitas Negatif?
Apakah Model Tiga Faktor Fama-Prancis itu?